复合不等式
fù hé bù děng shì
复合不等式用“且”或“或”连接两个不等式，分别表示解集的交集或并集。
Definition
复合不等式用"且"或"或"把两个不等式合并成一个陈述："且"表示两者必须同时成立，"或"表示至少有一个成立。"且"型复合不等式写成双重不等式 $a < x < b$ 的形式，且总是构成一个有界区间（除非无解）；"或"型复合不等式则写成两个独立的陈述，且总是构成一个无界集合（两条射线，或整条数轴）。这对应于解集上的集合运算："且"对应交集，"或"对应并集；在区间表示法中，区间的交集总能表示成单个区间（或空集），而并集则可能需要多个区间来表示，在测度论中这类集合被称为博雷尔集。
Example
"且"的例子：$2 < x < 8$ 表示 $x$ 大于 $2$ 且小于 $8$。"或"的例子：$x < 1$ 或 $x > 5$ 表示 $x$ 要么小于 $1$，要么大于 $5$，用区间表示法写作 $(-\infty, 1) \cup (5, \infty)$。求解 $-3 < 2x + 1 \le 7$：减 $1$ 得到 $-4 < 2x \le 6$，再除以 $2$ 得到 $-2 < x \le 3$，即区间 $(-2, 3]$；又如 $\{x : x > -1\} \cap \{x : x \le 4\} = (-1, 4]$，而 $\{x : x < 2\} \cup \{x : x \ge 6\} = (-\infty, 2) \cup [6, \infty)$ 是一个不连通的集合。
Key Insight
"且"型不等式描述的是介于两个值之间的一段范围，而"或"型不等式描述的是从一个空隙向两个方向延伸出去的两段范围。开区间与闭区间在并集与交集运算下生成了 $\mathbb{R}$ 上的博雷尔 σ 代数，这是测度论与概率论的基础结构，因此复合不等式正是这一体系最基本的构件。