复合函数
fù hé hán shù
复合函数是把一个函数作用于另一个函数的输出,从而将两个函数结合起来,记作 (f o g)(x) = f(g(x))。
Formula
(f \circ g)(x) = f(g(x))
Definition
复合两个函数是指把一个函数的输出用作另一个函数的输入：先取内层函数的输出，再把它作为外层函数的输入，所以 $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ 表示先作用 $g$，再作用 $f$。$f \circ g$ 的定义域是 $g$ 的定义域中，使得 $g(x)$ 落在 $f$ 的定义域内的所有 $x$；复合运算满足结合律，但一般不满足交换律。从范畴论的角度看，函数复合就是态射的复合：给定 $f: B \to C$ 和 $g: A \to B$，复合 $f \circ g: A \to C$ 定义为 $(f \circ g)(a) = f(g(a))$，由于复合满足结合律，且恒等函数充当恒等态射，带复合运算的函数构成一个范畴（Set）。
Example
设 $g(x) = x + 1$，$f(x) = 2x$：那么 $(f \circ g)(3)$ 先计算 $g(3) = 4$，再计算 $f(4) = 8$，所以 $(f \circ g)(3) = 8$。设 $f(x) = x^2$，$g(x) = x + 3$：$(f \circ g)(x) = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$，而 $(g \circ f)(x) = x^2 + 3$，证实复合运算不满足交换律。微积分中的链式法则 $d/dx[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ 正是复合函数的导数，其证明直接依赖于复合的定义和导数的极限定义。
Key Insight
可以把复合看作一台两级机器：第一台机器（$g$）处理输入，然后把结果交给第二台机器（$f$）；顺序很重要，因为 $f(g(x))$ 通常不同于 $g(f(x))$。求 $f \circ g$ 的定义域时，从 $g$ 的定义域出发，再排除所有使 $g(x)$ 落在 $f$ 的定义域之外的 $x$，始终从内向外处理。链式法则是复合运算的无穷小版本；在抽象代数中，群同态是可复合的，两个同态的复合仍然是同态，保持代数结构不变。