Conjugado Complejo
El conjugado complejo de a + bi es a - bi, formado al negar la parte imaginaria mientras se mantiene la parte real sin cambios.
Formula
\overline{a + bi} = a - bi
Definition
El conjugado complejo de $a + bi$ es $a - bi$, simplemente se invierte el signo de la parte imaginaria, la imagen especular del número complejo a través del eje real. Propiedades clave: $z\bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$ siempre es real y no negativo, $z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$, y $z - \bar{z} = 2bi$; esto permite dividir números complejos multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado para "racionalizar" el denominador. La conjugación compleja $z \to \bar{z}$ es el único automorfismo de cuerpo no trivial de $\mathbb{C}$ que fija $\mathbb{R}$: es una involución ($\bar{\bar{z}} = z$) que satisface $\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}$ y $\overline{zw} = \bar{z}\bar{w}$, y en espacios con producto interno hermítico, la conjugación aparece en la definición $\langle z, w \rangle = \bar{z} w$.
Example
El conjugado de $3 + 5i$ es $3 - 5i$, y el conjugado de $6$ es simplemente $6$ (ya que $6 = 6 + 0i$). Para dividir $(2+3i)/(1-2i)$, multiplica el numerador y el denominador por el conjugado $(1+2i)$: $(2+4i+3i+6i^2)/(1+4) = -4/5 + (7/5)i$. La transpuesta hermítica (transpuesta conjugada) de una matriz $A$ es $A^* = \bar{A}^T$, y una matriz es hermítica si $A^* = A$; todas las matrices hermíticas tienen valores propios reales, generalizando las matrices simétricas a espacios vectoriales complejos.
Key Insight
Las raíces complejas de polinomios con coeficientes reales siempre vienen en pares conjugados, si $a + bi$ es una raíz, también lo es $a - bi$, razón por la cual las ecuaciones cuadráticas tienen o bien dos raíces reales o dos raíces complejas conjugadas. La conjugación es el automorfismo que distingue a $\mathbb{C}$ de su "imagen especular," y la insistencia en mecánica cuántica de que los observables físicos correspondan a operadores hermíticos es esencialmente el requisito de que los resultados de medición (valores propios) sean reales, impuesto mediante la simetría conjugada.