集合的补集
jí hé de bǔ jí
集合 $A$ 的补集包含全集中所有不属于 $A$ 的元素,记作 $A'$ 或 $A^c$。
Formula
A' = U \setminus A = \{x \in U : x \notin A\}
Definition
集合 $A$ 的补集是全集中所有不属于 $A$ 的元素；如果你知道包含了什么，补集就是剩下的一切。严格地说，$A'$（或 $A^c$）$= \{x \in U : x \notin A\}$，具有关键性质 $(A')' = A$、$A \cup A' = U$、$A \cap A' = \emptyset$，以及德摩根定律 $(A \cup B)' = A' \cap B'$ 和 $(A \cap B)' = A' \cup B'$。在测度论中，可测集合的补集是可测的，sigma-代数在补集下封闭；在布尔代数中，补运算是满足 $a \wedge a' = 0$ 和 $a \vee a' = 1$ 的对合，在拓扑学中，闭集是开集的补集。
Example
若 $U = \{1,2,3,4,5\}$ 且 $A = \{1,3,5\}$，则 $A' = \{2,4\}$：原本在 $A$ 中的现在出去了，原本在外面的现在进来了。在概率论中，$P(A') = 1 - P(A)$：如果下雨的概率是 $0.3$，不下雨的概率就是 $0.7$。无理数的集合是 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中的补集；在勒贝格 sigma-代数中它是可测的，在 $[0,1]$ 上测度为 $1$。
Key Insight
可以把补集想象成"其余一切"这个集合；在维恩图中，它是圆圈之外、矩形（全集）之内的区域。德摩根定律对逻辑电路和数据库查询至关重要：对并集取反变成对各自取反后再取交集。在补运算下封闭是 sigma-代数区别于更简单的集合系统的关键性质，正是为所有"可观测"事件定义概率所需要的性质。