公分母
gōng fēn mǔ
公分母是两个或多个分数分母的公共倍数，使这些分数得以相加或比较。
Definition
公分母是能同时作为两个或多个分数的分母的数；要把分数相加，它们需要有相同"大小"的份数，所以要先找到公分母。形式上，分数$a/b$和$c/d$的公分母是$b$和$d$的公倍数，即满足$b \mid m$且$d \mid m$的任意正整数$m$；最简单的选择是最小公分母，$\text{LCD} = \text{LCM}(b, d) = bd/\gcd(b, d)$。在一般的交换环中，类似的构造使用唯一分解整环中元素的最小公倍数。
Example
要计算$1/4 + 1/3$，先找公分母：$4$和$3$都能整除$12$，所以$1/4 = 3/12$，$1/3 = 4/12$，得$3/12 + 4/12 = 7/12$。对于$5/6 + 7/8$，最小公分母是$\text{LCM}(6, 8) = 24$：$5/6 = 20/24$，$7/8 = 21/24$，所以和为$41/24 = 1$又$17/24$（用$48$，另一个公倍数，也可以，但会留下更大的数字需要化简）。同样的想法在$\mathbb{Z}[x]$中也适用：计算$1/(x-1) + 1/(x+1)$使用公分母$(x-1)(x+1) = x^2-1$，得$(x+1+x-1)/(x^2-1) = 2x/(x^2-1)$。
Key Insight
你不能把苹果和橙子直接相加，也不能把三分之几和四分之几直接相加：公分母把所有东西转化成相同"口味"的份数，这样加法才有意义。用公分母加分数的法则，分子相加，分母不变，直接体现了分配律：$a/n + b/n = (a+b) \times (1/n)$。公分母实际上是在任何分式域上定义加法的关键步骤；证明$\mathbb{Q}$是一个域需要证明这种构造是良定义的，无论选取哪个代表元结果都一致，而交叉相乘检验正是所需的验证。