合并同类项
hé bìng tóng lèi xiàng
合并同类项是指对变量部分相同的项进行加减，以化简代数式。
Definition
合并同类项是指对含有相同变量的项进行加减：只改变前面的数字（系数），变量部分保持不变，因为变量部分不同的项无法合并。这是化简多项式表达式的关键步骤，其实质是反过来运用分配律，$ax + bx = (a+b)x$，每一次合并都隐含地用到了这一因式分解。在多项式环 $R[x_1, \ldots, x_n]$ 中，合并同类项对应于把相同单项式的系数相加，从而得到标准的多项式形式：对 $p = \sum a_\alpha x^\alpha$ 和 $q = \sum b_\alpha x^\alpha$，有 $p + q = \sum (a_\alpha + b_\alpha) x^\alpha$，其中 $\alpha$ 是一个多重指标，$x^\alpha$ 是相应的单项式。
Example
$4x + 7x = 11x$：把系数 $4$ 和 $7$ 相加，$x$ 保持不变；同样 $9y - 3y = 6y$。化简 $5x^2 + 3x - 2x^2 + 7 - x$：合并 $x^2$ 项得到 $3x^2$，合并 $x$ 项得到 $2x$，剩下 $3x^2 + 2x + 7$。在 $\mathbb{Z}[x, y]$ 中：$(3x^2y + 2xy - 5) + (x^2y - 3xy + 7) = 4x^2y - xy + 2$。
Key Insight
$4$ 个苹果加 $7$ 个苹果等于 $11$ 个苹果：水果的种类（变量）不变，只有数量（系数）在变。多项式环 $R[x]$ 是一个以单项式 $\{1, x, x^2, \ldots\}$ 为基的自由 $R$-模，所以合并同类项其实是这个模中的向量加法，即按分量对系数向量做加法。