Fórmula de Cambio de Base
La fórmula de cambio de base convierte un logaritmo en cualquier base a un cociente de logaritmos en una base más conveniente, como base 10 o base e.
Formula
\log_b(x) = \log(x) / \log(b) = \ln(x) / \ln(b)
Definition
La fórmula de cambio de base permite calcular cualquier logaritmo usando una calculadora que solo tiene los botones "log" o "ln": para cualesquiera bases válidas $a$ y $b$ y $x$ positivo, $\log_b(x) = \log_a(x) / \log_a(b)$, comúnmente escrito $\log_b(x) = \ln(x)/\ln(b) = \log(x)/\log(b)$. Se sigue directamente de la definición: si $y = \log_b(x)$, entonces $b^y = x$, y tomando $\log_a$ de ambos lados se obtiene $y\log_a(b) = \log_a(x)$, así que $y = \log_a(x)/\log_a(b)$. De manera más profunda, esto refleja que todas las funciones logarítmicas difieren solo por una constante multiplicativa, $\log_b(x) = (1/\ln(b)) \cdot \ln(x)$, son todas múltiplos escalares del logaritmo natural.
Example
Para calcular $\log_5(20)$, ya que no existe un botón de "log base 5," usa $\log_5(20) = \log(20)/\log(5) \approx 1.301/0.699 \approx 1.861$, y comprobando, $5^{1.861} \approx 20$. Para resolver $7^x = 150$, toma $\log_7$ de ambos lados: $x = \log_7(150) = \ln(150)/\ln(7) \approx 5.011/1.946 \approx 2.575$. En teoría de la información, cambiar entre bits ($\log_2$) y nats ($\ln$) para la entropía de Shannon es exactamente la fórmula de cambio de base aplicada a la entropía: $H = -\sum p_i \log_2(p_i)$ en bits frente a $H_{\text{nat}} = -\sum p_i \ln(p_i)$ en nats, relacionados por $H = H_{\text{nat}} / \ln(2)$, donde $1/\ln(2) \approx 1.4427$ convierte nats a bits.
Key Insight
Todo logaritmo puede convertirse a base $10$ o base $e$, haciendo de la fórmula de cambio de base una especie de "traductor universal" para logaritmos, calculable con cualquier calculadora estándar. La fórmula demuestra que en esencia solo existe una función logarítmica, escalada de manera diferente según la base: la elección de la base es una convención adecuada a la aplicación, no una necesidad matemática.