Regla de la Cadena
La regla de la cadena diferencia funciones compuestas multiplicando la derivada de la función externa por la derivada de la función interna.
Formula
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
Definition
La regla de la cadena maneja funciones dentro de otras funciones: primero deriva la función externa (dejando la interna intacta), luego multiplica por la derivada de la interna. Si $y = f(u)$ y $u = g(x)$, entonces $dy/dx = (dy/du)(du/dx) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$, y esta "cancelación" de $du$ en la notación de Leibniz hace que la regla sea intuitiva de aplicar. Más en general, para $f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k$ y $g: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, $D(f \circ g)(x) = Df(g(x)) \cdot Dg(x)$, donde $D$ denota la matriz Jacobiana, reduciéndose a la regla escalar cuando $m = n = k = 1$.
Example
Para $d/dx[\sin(x^2)]$: la función externa es $\sin(\ )$, dando $\cos(x^2)$, multiplicado por la derivada de la interna $x^2$, que es $2x$, así que la respuesta es $2x\cos(x^2)$. Para $f(x) = (3x^2 + 1)^5$, sea $u = 3x^2 + 1$; entonces $dy/dx = 5u^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 1)^4$. La retropropagación en redes neuronales es una aplicación directa de la regla de la cadena multivariable, calculando gradientes capa por capa desde la salida hasta la entrada.
Key Insight
Piénsalo como una cadena: la capa externa cambia, así que también debes tener en cuenta qué tan rápido cambia la capa interna, y casi toda derivada no trivial requiere esta regla, así que reconocer las funciones "interna" y "externa" es la habilidad clave. La regla de la cadena es el corazón computacional de la diferenciación automática y el autodiff en modo inverso usado en el aprendizaje profundo, lo que la convierte en uno de los teoremas más poderosos en la práctica de las matemáticas aplicadas.