基数
jī shù
基数是衡量集合中元素个数的量,把"大小"这一概念延伸到无穷集合。
Formula
|A| = \text{number of elements in } A
Definition
基数就是一个集合中元素的个数，是集合的"大小"；对于有限集合，这与普通计数一致，但对无穷集合而言，这个概念变得既迷人又奇特。如果两个集合之间存在双射（一一对应），那么它们的基数相同；$|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{Q}|$（都是可数无穷，记作 $\aleph_0$），但 $|\mathbb{R}| > |\mathbb{N}|$（不可数）。严格地说，基数是集合在双射关系下的一个等价类；康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理指出，若 $|A| \le |B|$ 且 $|B| \le |A|$，则 $|A| = |B|$，而基数的层级继续延伸为 $\aleph_0, \aleph_1, \ldots$，连续统假设（$|\mathbb{R}| = \aleph_1$）独立于 ZFC。
Example
$|\{a, b, c\}| = 3$，$|\{1, 2, \ldots, 100\}| = 100$，$|\emptyset| = 0$，就是数元素的个数。双射 $n \mapsto 2n$ 把每个自然数对应到一个偶自然数，所以 $|\mathbb{N}| = |\text{even naturals}|$，这对无穷集合来说是一个令人惊讶的结果；而康托尔对角线论证证明了 $|\mathbb{R}| > |\mathbb{N}|$，因为没有任何列表能穷尽所有实数。更令人惊讶的是，对于所有有限的 $n$，$|\mathbb{R}| = |\mathbb{R}^2| = |\mathbb{R}^n|$，意味着平面与直线具有相同的基数，这一结果连康托尔本人都感到震惊。
Key Insight
对于有限集合，基数就是简单的计数，但无穷基数揭示出"元素更多"并不是全部的故事。连续统假设的独立性（由哥德尔和科恩证明）表明，即使是像实数集大小这样基本的问题，数学中也存在真正无法裁决的问题。