双条件命题
shuāng tiáo jiàn mìng tí
双条件命题"P 当且仅当 Q"在 P 和 Q 具有相同真值时为真,意味着两者互相蕴含。
Formula
P \leftrightarrow Q \text{ (P if and only if Q)}
Definition
双条件命题表示"P 当且仅当 Q"，意味着 P 和 Q 总是同真同假：一个发生恰好当另一个也发生。严格地说，$P \leftrightarrow Q$ 在 $P$ 与 $Q$ 具有相同真值时为真，等价于 $(P \to Q) \wedge (Q \to P)$；数学定义和刻画性定理通常都以双条件命题的形式陈述。在模型论中，$P \leftrightarrow Q$ 作为定理意味着 $P$ 与 $Q$ 在完全相同的模型中为真，而在范畴论中，同构（$A \cong B$）是双条件等价关系在范畴意义上的类比。
Example
"一个图形是正方形当且仅当它有四条相等的边和四个直角"：这两个条件永远同时成立。"$n$ 是偶数 $\leftrightarrow$ $n^2$ 是偶数"需要证明两个方向："$n$ 为偶数蕴含 $n^2$ 为偶数"和"$n^2$ 为偶数蕴含 $n$ 为偶数"（后者常通过逆否法证明）。度量空间的完备性可以由多个等价性质刻画：柯西序列收敛当且仅当每个闭球都完备当且仅当贝尔纲定理成立，这是一条揭示出一整套等价表述的"当且仅当"链条。
Key Insight
"当且仅当"（常缩写为"iff"）意味着这种关系是双向的，是最强一类"若...则..."关系，而每一个数学定义本质上都是一个双条件命题，理解这一点能让定义更有用。发现两个表面上不同的性质在逻辑上等价，是数学中最深刻的结果之一，往往揭示出表面上不同领域之间隐藏的统一性。