结合律
jié hé lǜ
结合律指出，加法或乘法中数字的分组方式不影响结果：(a + b) + c = a + (b + c)。
Formula
(a + b) + c = a + (b + c)
Definition
结合律是指：在做加法或乘法时，无论如何改变数字的分组方式（也就是括号放在哪里），结果都不变：加法满足 $(a + b) + c = a + (b + c)$，乘法满足 $(ab)c = a(bc)$。它对减法和除法不成立，但它使你可以自由地重新分组各项，这在化简表达式或心算加法时很有用。集合 $S$ 上的二元运算 $*$ 若对所有 $a, b, c \in S$ 都满足 $(a * b) * c = a * (b * c)$，则称其满足结合律；结合律是半群、幺半群、群和环的公理之一，而八元数、李代数等非结合代数则放松了这一要求，代之以雅可比恒等式之类的结构。
Example
$(2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9$，$2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9$：无论怎么分组，结果相同。心算 $17 + 58 + 3$ 时，重新分组为 $17 + (58 + 3) = 17 + 61 = 78$ 比 $(17 + 58) + 3 = 75 + 3 = 78$ 更容易。八元数不满足结合律：对八元数单位 $e_1$、$e_2$、$e_4$，一般有 $(e_1 * e_2) * e_4 \neq e_1 * (e_2 * e_4)$，这使得八元数比四元数难处理得多。
Key Insight
"结合"（associate）意为把数字组合在一起：无论怎样分组，总和都相同；交换律与结合律合在一起，意味着你可以以任意顺序、任意分组方式对一组数字做加法或乘法。正是结合律，使字符串拼接、函数复合和矩阵乘法在不加括号的情况下也能有明确的定义，因为运算顺序不影响结果；不满足结合律则会引入对运算顺序的依赖，这是编程语言语义中的一个关键问题。