升序
shēng xù
升序是指把数从最小到最大排列。
Formula
a_1 \le a_2 \le a_3 \le \ldots
Definition
升序是指把数从最小排到最大，依次递增。形式上，若数列中每一项都大于或等于前一项，即 $a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_n$，则称该数列按升序（不减）排列；若每一项都严格大于前一项，则称为严格升序。这对应于 $\mathbb{R}$（或任意有序集合）上的全序关系，满足完全性、自反性、反对称性和传递性，升序数列就是从某个指标集到该有序集合的不减函数。
Example
$3, 7, 12, 25, 41$ 按升序排列，从左到右每个数都比前一个大。把 $-7, 3, -1, 0, 5$ 按升序排列后变为 $-7, -1, 0, 3, 5$，负数因为最小而排在前面。在实分析中，有界的升序数列必收敛（单调收敛定理）；数列 $1 - 1/n$ 是升序的，且上界为 $1$，收敛于 $1$。
Key Insight
"升序"（ascending）意味着"向上走"，就像爬楼梯一样，每个数都比前一个高。把一个列表按升序排序是计算机科学中的一个基本问题，归并排序和快速排序等算法能以平均 $O(n \log n)$ 的时间求解。单调收敛定理，即任何有界的单调实数列都收敛，是 $\mathbb{R}$ 完备性的一个推论，在分析学和测度论中都具有基础性地位。