Sucesión Aritmética
Una sucesión aritmética es una lista de números donde la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma constante.
Formula
a_n = a_1 + (n-1)d
Definition
Una sucesión aritmética es un patrón de números donde se suma la misma cantidad, la diferencia común $d$, cada vez para obtener el siguiente número, así que $a_{n+1} - a_n = d$ para cada par consecutivo. La fórmula explícita es $a_n = a_1 + (n - 1)d$, donde $a_1$ es el primer término y $n$ es el número del término; esto hace que una sucesión aritmética sea equivalente a una función lineal restringida a los enteros positivos, definiendo una progresión aritmética en $\mathbb{Z}$ (o cualquier anillo) cuyas sumas parciales forman una serie aritmética con suma en forma cerrada $S_n = n/2 \cdot (2a_1 + (n-1)d)$.
Example
$3, 7, 11, 15, 19, \ldots$ es aritmética porque se suma $4$ cada vez, mientras que $20, 15, 10, 5, 0, -5, \ldots$ es aritmética con diferencia común $-5$. Para la sucesión $5, 9, 13, 17, \ldots$, $a_1 = 5$, $d = 4$, así que el término $10$ es $a_{10} = 5 + (10-1)(4) = 41$ y el término $50$ es $201$. El teorema de Dirichlet establece que toda progresión aritmética $a, a+d, a+2d, \ldots$ con $\gcd(a,d) = 1$ contiene infinitos números primos, mostrando la profunda importancia teórico-numérica de las sucesiones aritméticas.
Key Insight
Una sucesión aritmética es como subir escalones de igual altura: cada escalón (término) está a la misma distancia por encima del anterior, siendo ese tamaño de paso constante la diferencia común. La fórmula explícita $a_n = a_1 + (n-1)d$ es la ecuación de una línea con pendiente $d$ e intersección en $y$ igual a $a_1 - d$, así que las sucesiones aritméticas son funciones lineales de $n$. En álgebra abstracta, las sucesiones aritméticas son clases laterales del subgrupo $d\mathbb{Z}$ en $\mathbb{Z}$, y su estructura bajo aritmética modular es central en el Teorema Chino del Resto y en construcciones criptográficas.