曲线下面积
qū xiàn xià miàn jī
曲线下面积是函数图形与 x 轴之间在某区间上所围成的区域,用定积分计算得出。
Formula
A = \int_a^b f(x)\, dx
Definition
曲线下面积是曲线与 x 轴之间在给定区间内所围成的空间大小，就像测量图形上一座山丘下方的区域。对于 $f \ge 0$，$y = f(x)$ 从 $a$ 到 $b$ 之间的曲线下面积等于 $A = \int_a^b f(x)\, dx$；如果 $f$ 降到 $x$ 轴下方，积分会把那一部分计为负值（净带符号面积），所以要求总面积，需要改为对 $|f(x)|$ 积分。更一般地，$[a,b]$ 上两条曲线 $f$ 和 $g$ 之间的面积是 $\int_a^b |f(x) - g(x)|\, dx$，$\mathbb{R}^2$ 中一个区域的面积由二重积分 $\iint_D 1\, dA$ 给出；格林定理把边界积分与面积联系起来，$A = \frac{1}{2} \oint (x\, dy - y\, dx)$。
Example
$y = 4$ 从 $x = 0$ 到 $x = 5$ 之间的面积是一个矩形，$4 \times 5 = 20$ 平方单位；对于弯曲的图形，则需要用积分来求。$y = \sin(x)$ 与 $x$ 轴从 $0$ 到 $2\pi$ 之间的面积需要对每一段取绝对值：$2 + 2 = 4$。格林定理给出了一种求积仪算法：沿任意闭合区域的边界描绘一圈，积分就会自动返回所围的面积，被用于 CAD 和 GIS 软件中。
Key Insight
曲线下面积正是积分与现实世界测量相联系的方式：总行驶距离、总累积降雨量、力做的总功。"净带符号面积"（定积分）与"总面积"（对 $|f|$ 积分）之间的区别，在位移与路程这类应用中十分重要，而面积计算是通往更高维体积、通量与概率计算的门户，这一切都由测度与积分的一般理论统一起来。