平行四边形的面积
píng xíng sì biān xíng de miàn jī
平行四边形的面积等于底乘以垂直高，可以通过把图形重新排列成矩形来推导。
Formula
A = b \times h
Definition
底为 $b$、垂直高为 $h$ 的平行四边形，面积是 $A = bh$，其中 $h$ 是两条平行底边之间的垂直距离，而不是斜边的长度。这与矩形公式完全相同，因为平行四边形可以通过切变变为矩形而不改变面积：把一端切下一个三角形，滑动到另一端，就得到一个底和高都相同的矩形。用向量表示时，由 $u = (u_1, u_2)$ 和 $v = (v_1, v_2)$ 张成的平行四边形，面积为 $|\det([u, v])| = |u_1 v_2 - u_2 v_1|$；在三维空间中，由向量 $u$ 和 $v$ 张成的面积为 $|u \times v|$，这正是叉积的几何意义。
Example
底为 $8$ cm、高为 $5$ cm 的平行四边形，$A = 8 \times 5 = 40$ cm²。一个底为 $12$ m、斜边为 $7$ m、高为 $5$ m 的平行四边形，面积为 $12 \times 5 = 60$ m$^2$；$7$ m 的斜边从未在计算中用到。对于向量 $u = (3, 1)$ 和 $v = (1, 4)$，它们张成的平行四边形面积为 $|3 \cdot 4 - 1 \cdot 1| = |12 - 1| = 11$ 平方单位。
Key Insight
平行四边形是"倾斜"的矩形：无论它倾斜多少，面积只取决于底和垂直高，与斜度无关。切变变换保持面积不变，所以底和高都相同的平行四边形与矩形面积恒相等。行列式作为平行四边形的有符号面积，是多元积分中换元公式的基础，其中雅可比行列式衡量了在换元下面积如何缩放。