分数加法
fēn shù jiā fǎ
分数加法需要先找到公分母，然后把分子相加，分母保持不变。
Formula
\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}; \quad \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}
Definition
要把分数相加，分母必须相同：如果分母已经相同，只需把分子相加，分母保持不变；如果不同，先要找到公分母（最好是最小公分母）再相加。形式上，对于$a/b + c/d$：如果$b = d$，和为$(a+c)/b$；如果$b \neq d$，把两个分数都改写成最小公分母下的形式，再把得到的分子相加，最后化简为最简形式。用等价类的语言来说，$\mathbb{Q}$中的加法定义为$[a/b] + [c/d] = [(ad+bc)/(bd)]$，证明这是良定义的，即等价的代表元总是得到等价的和，这就确认了$\mathbb{Q}$在加法下构成一个群。
Example
分母相同时，$2/7 + 3/7 = 5/7$；分母不同时，$1/3 + 1/4$用$12$作公分母变成$4/12 + 3/12 = 7/12$。对于$3/8 + 5/12$，最小公分母是$24$：$3/8 = 9/24$，$5/12 = 10/24$，得$19/24$（已是最简形式）。要验证该公式不依赖于所选代表元：既然$1/2 \sim 2/4$，计算$(1 \times 3 + 2 \times 5)/(2 \times 5) = 13/10$和$(2 \times 3 + 4 \times 5)/(4 \times 5) = 26/20$得到等价的结果，可由$13 \times 20 = 260 = 26 \times 10$验证。
Key Insight
把分母不同的分数相加，就像把苹果和橙子相加：你要先把所有东西都转化成相同的"单位"（公分母），然后简单地把数量相加。通用公式$a/b + c/d = (ad+bc)/(bd)$即使不求最小公分母也总能成立，但常常得到一个需要进一步化简的分数，所以使用最小公分母更高效，因为结果已经是最小可能分母下的形式了。$\mathbb{Q}$中加法通过等价类给出的抽象定义，是代数结构通过商构造建立起来的一个范例，验证良定义性正是使用等价类而非唯一标准代表元所付出的代数代价。