三角形
sān jiǎo xíng
三角形是有三条边、三个顶点的多边形，其三个内角之和总是 180 度。
Formula
\text{Area} = (1/2) \times \text{base} \times \text{height}; \text{angle sum} = 180^\circ
Definition
三角形是恰好有三条直边和三个角(顶点)的平面图形，它的三个内角之和总是 $180^\circ$。三角形按边分类(等边、等腰、不等边)或按角分类(锐角、直角、钝角)，对于一个有效的三角形，每条边必须小于另外两边之和(三角不等式)。严格来说，$\mathbb{R}^2$ 中的三角形是三个不共线点的凸包，全等条件(SSS、SAS、ASA、AAS)和相似条件(AA、SAS、SSS)在等距变换和相似变换下对三角形进行分类，余弦定理 $c^2 = a^2+b^2-2ab\cos C$ 将勾股定理推广到任意三角形。
Example
一个让行标志、一片披萨，以及一座山的形状都是三角形；角度为 $60^\circ$、$60^\circ$、$60^\circ$ 的三角形三边都相等。对于顶点 $A(0,0)$、$B(4,0)$、$C(0,3)$：边 $AB=4$，$BC=5$，$CA=3$，是一个直角($3$-$4$-$5$)三角形，面积为 $6$，周长为 $12$。由海伦公式，面积 $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中 $s=(a+b+c)/2$：对于该三角形，$s=6$，面积 $=\sqrt{6\cdot3\cdot2\cdot1}=\sqrt{36}=6$，与前面的计算一致。
Key Insight
三角形是最简单的多边形，也是最稳固的形状：按压矩形的一个角它会变形，但三角形能保持自己的形状，这就是桥梁和屋顶使用三角形支撑的原因。三角形也是所有多边形的构成基础，因为任何多边形都可以被分割成若干三角形(三角剖分)，而三角不等式不仅是一个几何约束，它正是度量空间的定义性公理，所以每一个三角形都编码了一种度量，将欧几里得几何与度量空间理论联系了起来。