子集
zǐ jí
子集是这样一个集合:它的每个元素也都包含在另一个集合中,记作 A ⊆ B。
Formula
A \subseteq B: \text{ every element of } A \text{ is in } B
Definition
如果集合 $A$ 中的每个元素也都在集合 $B$ 中，那么 $A$ 就是 $B$ 的子集，即 $A$ 整个装在 $B$ 里面。严格地说，$A \subseteq B$ 表示：对任意 $x$，若 $x \in A$，则 $x \in B$；$A = B$ 当且仅当 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$，这是证明集合相等的标准技巧。子集关系 $\subseteq$ 在任意一族集合上定义了一个偏序：自反、反对称且传递，幂集 $P(X)$ 在 $\subseteq$ 下构成一个布尔格。
Example
对于 $A = \{2, 4\}$ 和 $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$：由于 $2 \in B$ 且 $4 \in B$，所以 $A \subseteq B$；每个集合也都是自身的子集。证明 $A \subseteq A \cup B$：任取 $x \in A$，那么根据并集的定义，$x \in A \cup B$。在拓扑学中，$X$ 上的一个拓扑是一族在任意并和有限交下封闭的子集（开集），所以每个拓扑学概念都建立在子集关系之上。
Key Insight
空集 $\emptyset$ 是每一个集合的子集，因为 $\emptyset$ 中没有任何元素可能不在 $B$ 中。幂集 $P(A)$（即 $A$ 的所有子集组成的集合）满足 $|P(A)| = 2^n$（当 $|A| = n$ 时），这说明即使很小的集合也有许多子集。子集在 $\subseteq$ 下构成的格是布尔代数的原型，把集合论与逻辑（其中 $\subseteq$ 对应于蕴含）以及电路设计联系起来。