隐函数求导
yǐn hán shù qiú dǎo
隐函数求导通过对方程两边同时关于 x 求导,来求出 y 未被单独解出时的 dy/dx。
Formula
\frac{d}{dx}[F(x,y)] = 0, \text{ solve for } \frac{dy}{dx}
Definition
有时一个方程把 $x$ 和 $y$ 混在一起，你无法轻易地解出 $y$；隐函数求导让你仍然可以求出斜率 $dy/dx$：对 $F(x, y) = 0$ 两边同时关于 $x$ 求导，把 $y$ 当作 $x$ 的函数，每当 $y$ 出现时应用链式法则，然后代数求解出 $dy/dx$。根据隐函数定理，若 $F(x, y) = 0$ 且在某点处 $F_y \neq 0$，则 $y$ 在局部是 $x$ 的可导函数，且 $dy/dx = -F_x/F_y$，这在多元情形下可通过雅可比矩阵推广。
Example
方程 $x^2 + y^2 = 25$ 描述一个圆；对两边求导得到 $2x + 2y(dy/dx) = 0$，所以 $dy/dx = -x/y$，与隐函数定理的预测一致（$F_x = 2x$，$F_y = 2y$）。对于笛卡尔叶形线 $x^3 + y^3 = 6xy$：$3x^2 + 3y^2(dy/dx) = 6y + 6x(dy/dx)$，整理后得到 $dy/dx = (2y - x^2)/(y^2 - 2x)$。
Key Insight
隐函数求导就像不必先拆开一堵弯曲的墙，就能求出它的斜率；对于那些无法写成 $y = f(x)$ 形式的方程所定义的曲线（包括圆、椭圆和许多代数曲线），它是不可或缺的。隐函数定理是微分几何与流形理论的基石，为光滑超曲面保证了局部坐标图的存在。