集合的元素
jí hé de yuán sù
元素是属于某个集合的单个对象,用属于符号 ∈ 表示。
Formula
x \in A \text{ (x is an element of A)}
Definition
元素就是集合内部的某一个事物；符号 $\in$ 表示"属于"，$\notin$ 表示"不属于"。对于集合 $A$，$x \in A$ 表示 $x$ 是 $A$ 的一个元素，集合可以包含任意类型的对象，包括其他集合，所以 $\{\{1,2\}, \{3,4\}\}$ 有两个元素，每个元素本身都是一个集合。在 ZFC 中，属于关系 $\in$ 是构建整个集合论的原始未定义概念，而且每个元素本身也是一个集合；迭代层级 $V_0 = \emptyset$，$V_{\alpha+1} = P(V_\alpha)$，$V = \bigcup V_\alpha$，正是 ZFC 集合的宇宙，由属于关系归纳地构建而成。
Example
在集合 $A = \{2, 4, 6, 8\}$ 中：$4 \in A$，但 $5 \notin A$。设 $A = \{1, \{2, 3\}, 4\}$：那么 $1 \in A$，$\{2,3\} \in A$，且 $4 \in A$，但 $2 \notin A$，因为 $2$ 是嵌套在一个子集合中，而不是直接属于 $A$。空集 $\emptyset$ 是 $\{\emptyset\}$ 的一个元素，而 $\emptyset \subseteq$ 每一个集合，所以 $\emptyset$ 和 $\{\emptyset\}$ 是不同的：$\emptyset$ 有 $0$ 个元素，$\{\emptyset\}$ 有 $1$ 个元素。
Key Insight
可以把集合想象成一个俱乐部，把元素想象成它的成员：符号 $\in$ 问的是，"这个人在俱乐部里吗？"元素与子集之间的区别常常让学生犯糊涂：$\{2\} \subseteq A$，因为 $\{2\}$ 是一个子集，但 $2 \in A$，因为 $2$（而不是 $\{2\}$）才是直接属于 $A$ 的元素。在类型论这一替代性基础理论中，元素带有类型来限制成员关系，以不同于 ZFC 的方式避免悖论。