连续性
lián xù xìng
连续性是指函数没有断裂、孔洞或跳跃,可以一笔画成而不必抬起笔。
Formula
\lim_{x \to a} f(x) = f(a)
Definition
如果一个函数的图形没有孔洞、跳跃或断裂，也就是说你可以用铅笔一笔画出它而不离开纸面，这个函数就是连续的。严格地说，$f$ 在 $x = a$ 处连续需要满足三个条件：$f(a)$ 有定义，$\lim_{x \to a} f(x)$ 存在，且 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$；等价地，对任意 $\epsilon > 0$，都存在 $\delta > 0$，使得 $|x - a| < \delta$ 蕴含 $|f(x) - f(a)| < \epsilon$。一致连续性对此加以强化，要求 $\delta$ 的选取在全局都成立，与 $a$ 无关。
Example
$y = x^2$ 的图形是一条没有断裂的光滑曲线，但 $y = 1/x$ 在 $x = 0$ 处有断裂，因为那里除以零没有定义。$f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)$ 在 $x = 1$ 处没有定义（形成一个孔洞），所以在那里不连续，不过若重新定义 $f(1) = 2$，函数就变得连续了（这是可去间断）。$f(x) = x^2$ 在整个 $\mathbb{R}$ 上连续，但不是一致连续的，因为 $\delta$ 的取值依赖于具体的点；而 $f(x) = \sin(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上是一致连续的，因为它的导数是有界的。
Key Insight
连续性是数学上表达"函数行为可预测、没有突发意外"的方式。它是介值定理的基础：一个在 $[a,b]$ 上连续的函数会取到 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的每一个值，这也是我们知道像 $x^3 = 2$ 这样的方程必有解的原因。一致连续性是更强的条件，它保证函数是黎曼可积的，并且保证定义域中的柯西序列会映射为值域中的柯西序列。